长方体与正方体

长方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点；12 条棱按长、宽、高各 4 条分组；正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。

六个面、十二条棱是怎样数的

长方体的每个顶点都是三条棱的交点。从 8 个顶点各数一次，每个顶点都连着 3 条棱，会数到 8×3=24 条。不过，每条棱的两个端点各把它数了一次，重复了，所以实际有 24÷2=12 条棱。

12 条棱可以按方向分成三组：4 条长、4 条宽、4 条高。相对的棱长度相等。相交于同一个顶点的三条棱，就是一条长、一条宽、一条高。

6 个面两两相对：上下面、前后面、左右面。相对的面完全相同，所以只要知道长、宽、高，就能确定三组面的形状。正方体的长、宽、高都相等，6 个面都是正方形，所以它是特殊的长方体。

棱长总和：长、宽、高各有 4 条，所以是 4×(长+宽+高)；正方体是 12×棱长。

例1的长方体：同色棱长度相等，蓝、绿、橙三组各4条。虚线棱虽然看不见，也要计入12条棱。

例子

例 1：长 5 cm、宽 4 cm、高 3 cm

棱长总和：4×(5+4+3)=4×12=48 cm。

6 个面：上下面是 5×4，前后面是 5×3，左右面是 4×3；相对的面各一对。

例 2：正方体棱长 5 cm

12 条棱都一样长，棱长总和：12×5=60 cm。 6 个面都是边长 5 cm 的正方形。

例 3：由棱长总和求高

一个长方体棱长总和 72 cm，长 8 cm，宽 6 cm。长、宽、高各 4 条，先求一组长、宽、高的和：72÷4=18 cm。高：18−8−6=4 cm。

易错

• 把棱数数成 6 或 8。按长、宽、高各 4 条分组数。
• 把顶点数成 6。顶点是三条棱的交点，共 8 个。
• 认为长方体 6 个面都一样。只有相对的面相同；正方体才 6 个面都相同。
• 把正方体和长方体对立。正方体是特殊的长方体。
• 算棱长总和漏乘 4。长、宽、高各有 4 条，先相加再乘 4。

练习

1. 长方体有几个面、几条棱、几个顶点？
2. 长 6 cm、宽 4 cm、高 3 cm 的长方体，棱长总和是多少？
3. 正方体棱长 2.5 dm，棱长总和是多少？
4. 一个长方体棱长总和 72 cm，长 8 cm，宽 6 cm，高是多少？
5. 正方体棱长总和 60 cm，棱长是多少？
6. 判断：长方体的 6 个面一定都是大小不同的长方形。

答案

1. 6 个面、12 条棱、8 个顶点。
2. 4×(6+4+3)=4×13=52 cm。
3. 12×2.5=30 dm。
4. 72÷4=18 cm；18−8−6=4 cm。
5. 60÷12=5 cm。
6. 错。相对的面相同；也可能有两个相对的面是正方形，但仍是长方体。正方体 6 个面都是正方形。