用法：先算余数，再判断。答案在后面。
A 组：先练基础
下面哪些是有限小数，哪些是循环小数？
- 1÷3
- 1÷6
- 1÷8
B 组：换个问题
写出商和循环节：
- 2÷7
- 5÷12
- 3÷11
C 组：高年级选学，先学约分和质因数
一个最简分数，分母分别是 12、20、25。化成小数，哪些是有限小数，哪些是循环小数？为什么？
答案与说明
A 组：先练基础
- 循环，0.333…，余数一直是 1。
- 循环，0.1666…，余数 4 一直重复。
- 有限，0.125，余数变成 0。
B 组：换个问题
- 2÷7=0.285714285714…，循环节 285714。
- 5÷12=0.41666…，循环节 6。前面的 41 不循环。
- 3÷11=0.272727…，循环节 27。
C 组：多想一步
- 12=2×2×3，含有 2、5 以外的质因数 3，所以是循环小数。
- 20=2×2×5，只含 2 和 5，所以是有限小数。
- 25=5×5，只含 5，所以是有限小数。
结论：最简分数分母只含质因数 2 和 5，才能化成有限小数；否则是循环小数。
这个判断要用约分和质因数。现在可以跳过，先把余数判断用熟。有限小数能写成分母为 10、100、1000……的分数；这些分母只由 2 和 5 相乘得到，约分不会添进别的质因数。反过来，最简分母只有 2 和 5 时，补乘缺少的 2 或 5 就能凑成 10、100……。这说明为什么必须先约成最简分数，再看分母。
做完再检查
- 记录从初始余数开始：1÷7 的第一行是“余数 1 → 商 1 → 余 3”；漏掉初始余数会把循环节写成 428571。
- 把每一步记成“余数 → 下一位商”；同一余数第二次出现时，从它第一次出现后产生的那一位商开始循环。
- 5÷12：余数 8 第一次出现后，下一位商是 6；循环节是 6，不是 41。
- 1÷6=0.1666…，循环节是 6，不是 16。
- 余数为 0 时，商终止，不是循环小数。
- 循环小数可以用分数表示；小学阶段先掌握“余数重复”的解释。