循环小数

小数除法中，余数只有有限种；余数一重复，后面的商就重复；余数变成 0，商就终止。

余数重复了，商会怎样

算 1÷3，整数部分商 0，余 1。把余数 1 看成 10 个 0.1，10÷3 商 3 余 1；再把余数 1 看成 10 个 0.01，还是商 3 余 1。

竖式里每一步记录的余数数字都是 1，下一位都要算 10÷3，所以小数点后一直是 3，写成 0.333…，写不完。这里重复的是计算中的余数数字；它对应的实际量依次是 1、0.1、0.01……，单位在变小。

除数是 7 时，余数只能是 0、1、2、3、4、5、6，共 7 种。如果余数一直不为 0，余数只在 1 到 6 之间取。从初始余数开始记，最多记 7 个余数，必有两个相同。余数一重复，接下来每一步都和上次一样，商就开始循环。

所以判断商是有限还是循环，看余数：

• 余数变成 0，商终止，是有限小数；
• 余数始终不为 0，就会循环，是循环小数。

不能只看“能不能整除”。1÷8 不能整除，但余数最后变成 0，商是 0.125，是有限小数。

循环节从哪里开始，也要看余数第一次重复的位置，不是看哪个数字先重复。5÷12 的商是 0.41666…，前面的 41 不循环，循环节是 6。

例子

例 1：1÷3

竖式每一步：10÷3 商 3 余 1，下一步仍是 10÷3。

余数 1 反复出现，商 3 反复出现。

1÷3=0.333…，循环节是 3。

例 2：1÷7

把每一步记成“余数 → 商 → 新余数”：

新余数又回到 1，下一步又商 1。所以 1÷7=0.142857142857…，循环节是 142857。

例 3：5÷12

5÷12：50÷12 商 4 余 2；20÷12 商 1 余 8；80÷12 商 6 余 8。

余数 8 第二次出现，后面继续商 6、余 8。

所以 5÷12=0.41666…，循环节是 6，不是 416。

易错

• 把“不能整除”当成“除不尽”。1÷8=0.125，不能整除，但余数变成 0，商是有限的。
• 循环节起点找错。5÷12=0.41666…，循环节是 6；写成 0.416 或 0.41616… 都不对。
• 1÷6=0.1666…，循环节是 6，不是 16。前面那个 1 只出现一次。
• 用“≈”代替精确写法。1÷3=0.333… 是准确相等；0.333 只是近似值。保留两位小数时写 ≈0.33。
• 只看数字重复，不看余数。数字碰巧重复，不代表从这里开始循环；要找到余数第一次重复的位置。
• 认为循环小数不是数。它是确定的数，只是小数写法写不完，也可以用分数表示。

练习

1. 1÷3 的商是多少？循环节是什么？
2. 1÷6 的商是多少？循环节是什么？
3. 1÷8 的商是有限小数还是循环小数？
4. 2÷7 的商是多少？循环节是什么？
5. 5÷12 的商是多少？循环节是什么？
6. 判断：1÷8 不能整除，所以商一定是循环小数。

答案

1. 1÷3=0.333…，循环节是 3。
2. 1÷6=0.1666…，循环节是 6。
3. 1÷8=0.125，余数变成 0，是有限小数。
4. 2÷7=0.285714285714…，循环节是 285714。
5. 5÷12=0.41666…，循环节是 6。
6. 错。1÷8=0.125，虽然不能整除，但余数变成 0，商终止。