公因数与公倍数

本课讨论正整数。公因数是两个数都有的因数，最大公因数是其中最大的；公倍数是两个数都有的倍数，最小公倍数是其中最小的。

铺地砖和找共同的节拍

因数是一个数能被谁整除。两个数都有的因数，就是公因数。

沿长和宽整齐排列，用边长为整厘米的相同正方形铺满 12 厘米×18 厘米的长方形，正方形边长必须同时整除 12 和 18，所以边长只能取公因数。要让正方形最大，就取最大公因数 6。沿长边铺 18÷6=3 个，沿宽边铺 12÷6=2 个，共 3×2=6 个。

每个小正方形边长6厘米；三列两行铺满12厘米×18厘米的长方形，没有空隙或剩余。

这里列倍数时，从乘 1、乘 2、乘 3……开始，不把 0 列进去。两个数都有的倍数，就是公倍数。两种鼓在第 0 拍同时响过，以后一种每 4 拍响一次，另一种每 6 拍响一次，再重合的时刻必须同时是 4 和 6 的倍数；下一次重合取最小公倍数 12。

先分别列出因数或倍数，再圈出共同的数。基础题用这个方法即可。分解质因数的方法放在文末选学。

例子

例 1：12 和 18

12 的因数：1、2、3、4、6、12。 18 的因数：1、2、3、6、9、18。

公因数是 1、2、3、6，最大公因数是 6。

12 的倍数：12、24、36、48…… 18 的倍数：18、36、54……

最小公倍数是 36。检验：6×36=216，12×18=216。

例 2：8 和 12

8 的因数：1、2、4、8。 12 的因数：1、2、3、4、6、12。

最大公因数是 4。

8 的倍数：8、16、24、32…… 12 的倍数：12、24、36……

最小公倍数是 24。检验：4×24=96，8×12=96。

例 3：4 和 6 的最小公倍数不是 24

4 的倍数：4、8、12、16、20、24…… 6 的倍数：6、12、18、24……

12 已经是共同的倍数，比 24 小，所以最小公倍数是 12。只有两个数互质时，最小公倍数才等于它们的乘积。

易错

• 把最大公因数和最小公倍数弄反。公因数要能同时整除两个数，公倍数要能同时被两个数整除。
• 认为最小公倍数一定是两个数的乘积。4 和 6 的最小公倍数是 12。
• 找公因数漏掉 1。1 是所有非零自然数的公因数。
• 铺正方形时用长加宽。边长要同时整除长和宽，找公因数。
• 短除法只取一边的质因数。最大公因数要取两边共同的质因数。

练习

1. 求 18 和 24 的最大公因数和最小公倍数。
2. 求 9 和 15 的最大公因数和最小公倍数。
3. 求 7 和 12 的最大公因数和最小公倍数。
4. 把长 12 cm、宽 18 cm 的长方形纸裁成同样大的正方形，不许剩余，正方形边长最大是多少？能裁几个？
5. 两盏灯分别每 6 秒、每 8 秒闪一次，同时闪过后，至少再过多少秒又同时闪？
6. 两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 24，且两个数不相等。这两个数可能是多少？

答案

1. 公因数是 1、2、3、6，最大是 6；18 的倍数为 18、36、54、72……，24 的倍数为 24、48、72……，最小公倍数是 72。
2. 公因数是 1、3，最大是 3；9 的倍数为 9、18、27、36、45……，15 的倍数为 15、30、45……，最小公倍数是 45。
3. 7 是质数，12 不含因数 7，最大公因数 1；最小公倍数 7×12=84。
4. 边长取 12 和 18 的最大公因数 6 cm；18÷6=3，12÷6=2，共 3×2=6 个。
5. 6 和 8 的最小公倍数是 24，至少再过 24 秒。
6. 4 和 24，或 8 和 12。