容斥：两个圈重叠怎么数？

两类都数一遍，重叠部分被数了两次，减去一次才不重不漏。

两项都会的人算了几次

统计“会游泳或会滑冰”的人数时，如果直接把会游泳的 32 人和会滑冰的 25 人相加，两项都会的 12 人就被算了两次。

只游泳：32−12=20 人
只滑冰：25−12=13 人
两项都会：12 人

一共：

20+13+12=45 人

也可以直接：

32+25−12=45 人

这就是容斥原理：先把两类分别加起来，再减去重叠的一次。

用两个圈表示，可以分成三块：

两个圈合起来覆盖的总人数，就是“至少会一项”的人数。如果还知道全班人数，用全班人数减去这个数，就是“两项都不会”的人数。

例子

例 1：至少会一项

班里会游泳的有 32 人，会滑冰的有 25 人，两项都会的有 12 人。

32+25−12=45 人

至少会一项的有 45 人。

例 2：两项都不会

这个班一共有 48 人，至少会一项的有 45 人。

48−45=3 人

两项都不会的有 3 人。

选学：三个圈

三个兴趣组：

美术 10 人，音乐 12 人，体育 15 人
美术和音乐都参加 4 人
美术和体育都参加 3 人
音乐和体育都参加 5 人
三个组都参加 2 人

这里的每一个“两组都参加”人数，都包含三个组全参加的人。

先算至少参加一个组的人数：

10+12+15−4−3−5+2
=37−12+2
=27 人

为什么最后要加回 2？三个组都参加的人，在减两两重叠时被减了三次，已经一次不剩，必须加回一次。

易错

• 直接把两类人数相加，忘了减去重叠部分。
• 把“两项都会”当成“两项都不会”。
• 求“只会一项”时，忘记把两项都会的人排除掉。
• 用总人数减“至少会一项”时，把顺序弄反。
• 三个圈相加减两两重叠后，忘记把三个都包含的部分加回来。

练习

1. 18 人会足球，22 人会篮球，8 人两项都会。至少会一项的有多少人？
2. 只喜欢苹果的有 15 人，只喜欢香蕉的有 10 人，两种都喜欢的有 6 人。至少喜欢其中一种的共有多少人？
3. 班里 40 人，会游泳的 26 人，会骑车的 18 人，两项都会的 10 人。两项都不会的有多少人？
4. 参加甲比赛的有 25 人，参加乙比赛的有 20 人，参加比赛的共有 35 人。两项都参加的有多少人？
5. 【选做】三个组人数分别是 10、12、15，两两重叠分别是 4、3、5，三个都参加的有 2 人。至少参加一个组的有多少人？
6. 判断：把两类人数直接相加，就是总人数。

答案

1. 18+22−8=32 人。
2. 15+10+6=31 人。
3. 26+18−10=34 人至少会一项；40−34=6 人两项都不会。
4. 25+20−35=10 人。
5. 10+12+15−4−3−5+2=27 人。
6. 错。重叠的人被数了两次，要减去一次。