M为什么实验室 · 小学数学
五、六年级 · 基础

比例尺

先会：比的意义、长度单位换算、方向

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把照片的长和宽都放大到原来的 2 倍，能装下几张原照片？图上长度比和面积比为什么不是同一个数？

图上一厘米，实际有多远

3乘2长方形放大为6乘4，可分成4块原来的3乘2长方形。

地图不能按实际大小画，只能缩小。比例尺 1:100 表示图上 1 cm 对应实际 100 cm。

图上距离:实际距离=1:100

比例尺是一个比，没有单位。1:100 也可以写成 1/100。

由这个比可以得到：

实际距离=图上距离÷比例尺
图上距离=实际距离×比例尺

比例尺写成 1:n 时，也可以直接算：

实际距离=图上距离×n
图上距离=实际距离÷n

例如图上 3 cm，比例尺 1:100，实际距离是 3×100=300 cm=3 m。

单位要统一。1 m=100 cm，1 km=1000 m=100000 cm。

比例尺 1:100000 表示图上 1 cm 对应实际 100000 cm，也就是 1 km。

面积不能直接按比例尺算。比例尺 1:100 时，图上 1 cm 代表实际 100 cm；图上 1 cm² 代表实际 100 cm×100 cm=10000 cm²。所以面积比是 1:10000，是比例尺的平方。

放大比例尺如 2:1，表示图上 2 份对应实际 1 份，图上距离比实际距离大。

用一段线表示比例尺

有的地图画一条带刻度的线，不写 1:100000。下面每一小段都表示实际 1 千米：

线段比例尺从0到2千米，两个等长小段每段表示1千米。

假设纸上每小段长 1 厘米，它就等于数值比例尺 1:100000。网页会随屏幕缩放，不能拿屏幕上的长度直接当作纸上厘米；但地图与这条比例尺一起等比缩放，仍可用“路线相当于几段”来判断距离。

例如路线长是这整条线的 1.5 倍，实际就是 2×1.5=3 千米。

例子

例 1：求实际距离

地图比例尺 1:5000000，图上两地相距 4.2 cm。

实际距离=4.2×5000000=21000000（cm）
21000000 cm=210 km

例 2：求图上距离

教室长 9 m，画在比例尺 1:300 的图纸上。

9 m=900 cm
图上距离=900÷300=3（cm）

例 3：面积比

比例尺 1:200，图上长方形长 3 cm、宽 2 cm。

实际长：3×200=600 cm=6 m
实际宽：2×200=400 cm=4 m
实际面积：6×4=24（m²）=240000 cm²
图上面积：3×2=6（cm²）
6:240000=1:40000

1:40000 正好是 1:200 的平方。

易错

  • 图上距离和实际距离单位不统一就直接乘除。先把它们化成同一单位。
  • 把比例尺当成有单位的量。比例尺是一个比，后面不写 cm 或 m。
  • 求实际距离时不看比例尺就乘后项。统一单位后，实际距离=图上距离÷比例尺；1:n 时等于乘 n，2:1 时则应除以 2。
  • 把面积比当成比例尺。1:100 的图上面积比是 1:10000。
  • 把放大比例尺看成缩小。2:1 表示每条对应长度都变成原来的 2 倍。
  • 比例尺前后项颠倒。1:100 不能写成 100:1。

独立作图：按相同比放大和缩小

先会数对、方格作图和三角形面积。下面每格边长 1 厘米，A=(0,0)、B=(3,0)、C=(0,2)。先看示范：把两条直角边都放大到原来的 2 倍，保持 A 不动，B 到 (6,0)、C 到 (0,4)，连接三点，得到形状相同、大小改变的三角形。只把一条边加倍会改变形状。

待放大与缩小的直角三角形ABC及方格

自己试一试

  1. 在方格上画出放大后的三角形，再把它按 1:2 缩小，是否回到原图？
  2. 画一个长 4 格、宽 2 格的长方形，再按 1:2 缩小，检查每条对应边。
  3. 长度变为 2 倍时，三角形面积是否也只变 2 倍？正方体三条方向的边长都变 2 倍，体积又怎样？

核对答案

  1. 放大后三点为 (0,0)、(6,0)、(0,4)，缩小后回到 (0,0)、(3,0)、(0,2)。
  2. 新长 2 格、宽 1 格，位置不限，各对应边都为原来的一半。
  3. 原面积 3×2÷2=3 平方厘米，新面积 6×4÷2=12 平方厘米，是 4 倍；正方体体积变为 2×2×2=8 倍。画完要检查各条对应边是不是按同样的倍数变了，形状有没有变，不能只写出倍数。

面积变成 4 倍，就一定按 2:1 放大了吗

把一个长方形只沿长的方向拉到 4 倍，宽不变，面积也是 4 倍。能说它按 2:1 放大了吗？

看解释

不能。按 2:1 放大要求每条对应长度都变成 2 倍。这里只拉长一个方向，长宽比变了，形状也变了；只知道面积的倍数，不能确定怎样缩放。

练习

  1. 比例尺 1:1000，图上 5 cm 表示实际多少米？
  2. 实际距离 6 km，比例尺 1:200000，图上距离是多少厘米？
  3. 地图上 3 cm 表示实际 15 km，求这张地图的比例尺。
  4. 比例尺 1:100，图上长方形长 4 cm、宽 2 cm，实际面积是多少平方米？
  5. 在比例尺 1:500 的图纸上，一个正方形的边长是 2 cm，实际面积是多少平方米？
  6. 判断：比例尺 1:100，图上面积是实际面积的 1/100。

答案

  1. 5×1000=5000（cm）=50（m）。
  2. 6 km=600000 cm；600000÷200000=3（cm）。
  3. 15 km=1500000 cm；3:1500000=1:500000。
  4. 实际长 4×100=400 cm=4 m，宽 2×100=200 cm=2 m；面积 4×2=8（m²）。
  5. 实际边长 2×500=1000 cm=10 m；面积 10×10=100（m²）。
  6. 错。图上面积是实际面积的 1/10000。

画一张小校园平面图

在方格纸上画图，每格表示实际 10 米，上方为北。以校门为起点，教学楼在校门正北 40 米处；图书室在教学楼正东 30 米处；花坛在图书室正南 20 米处。

  1. 标出四处位置，写上名称和北向箭头，再画出校门→教学楼→图书室→花坛的路线。
  2. 如果纸上每格边长 1 厘米，数值比例尺是多少？把它写在图旁。
  3. 沿这条路线共走多少米？同桌能只看你的图算出来吗？

核对：以校门为 (0,0)，向东为第一方向、向北为第二方向，三个位置分别在 (0,4)、(3,4)、(3,2) 格点。比例尺为 1:1000；路线全长是 (4+3+2)×10=90 米。名称、方向、比例尺都写清，别人才能读懂这张图。这里给出的是练习数据；画真实校园时，要先测量或取得可靠尺寸，不能直接套用。

换成自己测得的尺寸

条件合适时，选一间熟悉的房间或一小块平整的长方形场地，不用跑到马路上测量。先商量图给谁看、要标哪些位置，再写下测量方案：选哪个角作起点，图的上方表示哪个方向，谁测量、谁记录，用什么尺、统一用什么单位。

把长和宽各量两次；两次差别明显就重新检查尺子是否放直、起点是否对齐。记录原始数值，再选一个能画进纸张的比例尺，算图上长宽，画轮廓和要说明的位置，标出单位、方向和比例尺。只有确认了实际北向，才把箭头标成“北”。

画完交换检查：看图算回实际长宽，与记录是否相符？别人能找到指定位置吗？如果标注挤在一起，应换比例或位置，修改后写一句原因。这项任务没有统一数值答案；测量记录、图上尺寸与比例尺应彼此对应。只能做纸上练习时，使用前面的给定数据即可，并注明尚未实测。

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