这是一节五六年级提高选学课。先学会长方形面积、除法和倍数关系，再来试试。
用 12 个小方格拼长方形
每格面积是 1 平方厘米。12 格可以排成 3 行、每行 4 格，也可以排成 2 行、每行 6 格。格子没增加，也没减少，总面积一直是 12 平方厘米。
把长从 3 厘米改成 6 厘米，是原来的 2 倍。为了仍用这 12 格，宽就要从 4 厘米变成 2 厘米，是原来的一半。
再试一个不同的条件：周长固定为 12 厘米。长 4 厘米、宽 2 厘米时，面积是 8 平方厘米；改成长 5 厘米、宽 1 厘米，面积只有 5 平方厘米。两个例子都是“一边变大，另一边变小”，但保持不变的量不同。
自己试一试
- 面积是 24 平方厘米，长为 3、4、6、8 厘米时，宽分别是多少？
- 同一段路长 120 千米，全程速度保持不变。每小时走 30 千米要多久？每小时走 60 千米呢？为什么时间变成了一半？
- 长方形的长与宽之和固定为 10 厘米。长、宽分别取 6 和 4，或 7 和 3，面积相等吗？
核对答案
- 分别是 8、6、4、3 厘米，用 24 除以长即可。每组长×宽都是 24。
- 120÷30=4 小时，120÷60=2 小时。每小时走的路程变成 2 倍，而总路程没变，所用时间就是原来的一半。
- 不相等。6×4=24，7×3=21。长与宽的和不变，面积未必不变。
初中衔接选学：认识反比例
上面“乘积一定”的关系，后续会用反比例来描述。下面保留它的名称、式子和练习；小学基础学习不要求先掌握这些。
面积不变，长增加了，宽怎样变
看面积是 12 cm² 的长方形：
| 长/cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 宽/cm | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
每一列长×宽都等于 12。
长从 1 变成 2，扩大到 2 倍，宽从 12 变成 6，缩小到 1/2；长变成 3 倍，宽变成 1/3。乘积始终不变。
这样的两个量成反比例，记作
x×y=k（x≠0，k 一定，k≠0），也就是 y=k/x
图像为什么是曲线？把点 (1,12)、(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)、(12,1) 画出来，x 越大，y 越小，但减小的速度越来越慢。长、宽不必取整数，例如长 5 厘米时宽是 2.4 厘米。不断补入这样的长度对，描出的是一条曲线，不能把几个点用直线段连接后就当成精确图像。这里长、宽都大于 0，曲线不与坐标轴相交。
判断反比例，只看一条：两个量的乘积是不是一定。
长方形面积一定，长与宽成反比例。
长方形周长一定，长与宽不成反比例：长+宽一定，乘积会变。
路程一定，速度×时间=路程，速度与时间成反比例。
例子
例 1：面积一定
面积 12 cm² 的长方形，长 3 cm 时宽 4 cm；长 4 cm 时宽 3 cm；长 6 cm 时宽 2 cm。
3×4=12，4×3=12，6×2=12
长与宽成反比例。
例 2：路程一定
路程 120 km。
| 速度/(km/h) | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|
| 时间/h | 6 | 4 | 3 | 2 |
20×6=120，30×4=120，40×3=120，60×2=120
速度与时间成反比例。
例 3：货物总量一定
一批货物 240 吨，每车实际装的吨数相同，恰好全部运完：
| 每车装/吨 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 车数 | 60 | 40 | 30 | 24 |
4×60=240，6×40=240，8×30=240，10×24=240
在每车实际装同样多、恰好全部运完的条件下，每车吨数×车数=240，二者成反比例。若给的是每车最大载重量，最后一车可能不满，还要取整，不能直接说载重量与所需车数成反比例。
易错
- 看到“一个变大、另一个变小”就判断反比例。还要看乘积是否一定。
- 把反比例和正比例弄反。正比例是比值一定，反比例是乘积一定。
- 认为反比例图像是直线。反比例图像是曲线。
- 把“长+宽一定”当成反比例。和一定不是乘积一定。
- 一个量变成原来的 2 倍，以为另一个量减少 2。反比例是缩小到原来的 1/2。
- 认为图像会与坐标轴相交。正数范围内，x、y 都不为 0，曲线越来越靠近坐标轴，但不相交。
周长固定，也是一大一小
周长 12 厘米的长方形，长从 4 变成 5 厘米，宽从 2 变成 1 厘米。长与宽成反比例吗？
看解释
不成反比例。4×2=8，5×1=5，乘积变了；保持不变的是长+宽=6。一个量增加、另一个减少，只说明变化方向，还不能判断反比例。
练习
- 长方形面积 24 cm²，长 3、4、6、8 cm 时，宽各是多少？长与宽成什么比例？
- 路程一定，速度和时间成什么比例？为什么？
- 已知 x×y=20，x 与 y 成什么比例？
- 已知 x+y=10，x 与 y 成反比例吗？
- 一批货物 120 吨，每车装 5 吨需要 24 车。每车装 8 吨需要多少车？
- 圆的面积与半径成反比例吗？
答案
- 宽依次是 8、6、4、3 cm；长×宽=24，成反比例。
- 成反比例。速度×时间=路程（一定）。
- 成反比例。乘积 20 一定。
- 不成反比例。和一定，乘积不固定。
- 120÷8=15（车）。
- 不成反比例。例如半径从 1 变成 2，面积从 π 变成 4π，半径与面积的乘积从 π 变成 8π，不固定。