分数除法

3/4 米绳子，每 3/8 米算一份，有几份？把两种长度都换成八分之一米的小段，就能直接数。

先换成同样长的小段

3/4 米里面有 6 个 1/8 米，3/8 米里面有 3 个 1/8 米。问“有几个 3/8 米”，就成了“6 小段里有几组 3 小段”：6÷3=2，所以 3/4÷3/8=2。

再看 2/3÷4/5。用 1/15 作共同的小单位：2/3 是 10 小段，4/5 是 12 小段。10 小段不够一整组 12 小段，但相当于这一组的 10/12，也就是 5/6。因此：

2/3÷4/5=10÷12=5/6。

这里的 5/6 表示“相当于 5/6 份”。如果问能剪出多少个完整段，还要按题目要求取完整份数，不能把零头当成完整一段。

先认识一个新词：两个数相乘，积是 1，就说它们互为倒数。例如 4/5×5/4=1，4/5 和 5/4 互为倒数；2×1/2=1，2 的倒数是 1/2。1 的倒数仍是 1。0 乘任何数都不等于 1，所以 0 没有倒数。

为什么这也能算成乘倒数？4/5 先平均分成 4 小段，每段是 1/5；再取 5 小段才是 1。因此把“一份的大小”4/5 变成 1，要先除以 4、再乘 5。总量也做同样的变化，份数不变：

2/3÷4/5=(2/3×5/4)÷1=5/6。

3÷1/2 更容易看见：每个 1 里有两个半，3 里有 6 个半，所以 3÷1/2=3×2=6。除以一个不为 0 的数，就等于乘它的倒数。检验时，把商乘回原来的除数：5/6×4/5=2/3。

当被除数大于 0、除数在 0 和 1 之间时，商会大于被除数。要注意比较的意义：3 米绳子每半米一份，有 6 份，“6”是份数，绳子仍只有 3 米，并没有被除法拉长。

例子

例 1：3÷1/2

3÷1/2=3×2=6。

检验：6×1/2=3。

核对倒数：3/7、5、1 的倒数分别是什么？答案是 7/3、1/5、1。分别乘回原数，积都应是 1。

例 2：2/3÷4/5

2/3÷4/5=2/3×5/4=10/12=5/6。

检验：5/6×4/5=2/3。

例 3：12 米布能做几件衣服

一件衣服用布 3/4 米，12 米布能做多少件？

12÷3/4=12×4/3=16（件）。

检验：16×3/4=12（米）。

提高选学：两人合做，要用多久

学会分数加减和乘除后，再来看这类题。把一项工作的总量看作 1。甲单独做，要 6 天完成，每天完成 1/6；乙单独做，要 3 天完成，每天完成 1/3。这里假设每人每天完成的一样多，两人一起做也互不影响。每天完成多少，叫作工作效率。

工作量=工作效率×工作时间。两人每天一起完成 1/6+1/3=1/2，合作时间为 1÷(1/2)=2 天。不能把 6 天和 3 天直接相加或平均，因为相加的是“每天完成多少”。

如果甲先做 2 天，再由两人合作：甲已完成 2×1/6=1/3，剩 2/3；合作还需 (2/3)÷(1/2)=4/3 天。从开工起一共 2+4/3=3 又 1/3 天。题目问“合作多久”还是“总共多久”，要分清。

自己练一练

甲单独 8 天、乙单独 12 天完成同一项工作。

1. 同时开始合作，多久完成？
2. 甲先做 2 天后乙加入，还需合作多久？从开工到结束共多久？

答案与解释

效率和 1/8+1/12=5/24。

1. 1÷(5/24)=24/5=4 又 4/5 天。
2. 甲先完成 2/8=1/4，剩 3/4，合作 (3/4)÷(5/24)=18/5=3 又 3/5 天；总时间 5 又 3/5 天。检验第二问：(2+18/5)×1/8+(18/5)×1/12=1。写清每个人做了多久、哪个阶段可以相加。

易错

• 把被除数也取倒数。只有除数要变成它的倒数，被除数不变。
• 倒数取错对象。2/3÷4/5 应写成 2/3×5/4，不是 3/2×4/5。
• 带分数不能直接取倒数。要先把带分数化成假分数，再交换分子和分母。
• 认为 0 有倒数。0 乘任何数都得 0，不可能等于 1，所以 0 没有倒数，也不能作除数。
• 认为“除以一个数一定变小”。正数除以大于 0、小于 1 的数，商比被除数大；0 除以非零数仍为 0。判断时要看清两个数。
• 把除法转成乘法后忘记约分，或者把除号改成乘号却仍保留原除数。

另一次短课：小数和分数混合时选哪种写法

这一段要用到五下 10 学过的分数、小数互化，还要会分数四则运算。遇到小数和分数混在一起，先看看换成哪一种更好算；换的时候，数的大小不能变。

0.75+1/8，可以把 1/8 化成 0.125，得 0.875；也可以化成 6/8+1/8=7/8。两种答案相等。0.6÷(2/3) 适合把 0.6 写成 3/5，算成 (3/5)×(3/2)=9/10；若先把 2/3 四舍五入成 0.67，就改变了原算式，不能再写等号。

自己练一练

1. 1.25×(4/5)；
2. (2/3)−0.25；
3. 0.8÷(2/3)。任选一题，说说为什么选择化成小数或分数。

答案与解释

1. (5/4)×(4/5)=1；
2. 2/3−1/4=8/12−3/12=5/12；
3. (4/5)×(3/2)=6/5=1.2。

第 2 题中 2/3 不能化成有限小数，用分数就不用取近似数。其他能算出准确结果的方法也可以。

练习

1. 计算 5÷1/3。
2. 计算 3/4÷3/8。
3. 计算 4/5÷2。
4. 计算 7/8÷7/16。
5. 一根 6 米长的钢管，每 2/3 米锯一段，能锯成多少段？
6. 计算 3/5÷4/5，并与 3/5 比较大小。

答案

1. 5÷1/3=5×3=15。
2. 3/4÷3/8=3/4×8/3=2。
3. 4/5÷2=4/5×1/2=2/5。
4. 7/8÷7/16=7/8×16/7=2。
5. 6÷2/3=6×3/2=9（段）。
6. 3/5÷4/5=3/5×5/4=3/4；3/4>3/5，因为除以的 4/5 小于 1。