9 个零件里恰好有 1 个偏轻，其他一样重。天平两边各放 3 个，剩下 3 个不放。无论平衡还是哪边轻，都能把怀疑范围缩到哪一堆？
一次称量能排除哪些零件
假设次品已知偏轻。天平两边放同样多的零件：
- 左边轻：次品在左边这一堆；
- 右边轻：次品在右边这一堆；
- 两边一样重：次品在没有放上天平的那一堆。
一次称量能告诉我们应该继续检查哪一堆。分成同样多的 3 堆，就只用接着查其中的三分之一。一称有左轻、右轻、平衡三种结果，最多区分 3 个候选；再称一次，每个结果又能分成 3 种，最多区分 3×3=9 个；三次最多区分 3×3×3=27 个。
如果每次只拿两个零件互称，平衡时只能排除这两个；把两堆放上天平，平衡时可以一次排除两整堆。安排分堆时，要让每一种结果留下的候选都尽量少。
要让“最坏情况”下次数最少，每次分堆要尽量平均，不能分成 1 个和一大堆。把 9 个分成 3、3、3；把 8 个分成 3、3、2；把 27 个分成 9、9、9。例如还剩一次称量时，候选最多应有 3 个；还剩两次时，最多应有 9 个。
这节课的题，都会先告诉你次品偏轻还是偏重。如果连轻重也不知道，天平一边低，就不能确定是这一边有偏重的次品，还是另一边有偏轻的次品。那时要重新安排怎样称，不能直接用上面的 3、9、27 来判断次数。
例子
例 1：9 个零件，1 个偏轻，2 次找出
第一次：分成 3、3、3，称前两堆。
- 若平衡：次品在第三堆 3 个里；
- 若不平衡：次品在较轻的那一堆 3 个里。
无论哪种，范围都变成 3 个。
第一次称量的三种结果，各对应一堆3个候选。再按同样的方法把3个分成1、1、1，第二次就能确定。
第二次：从这 3 个里取 2 个，一边 1 个。若平衡，剩下那个是次品；若不平衡，轻的那个是次品。
例 2：27 个零件，1 个偏轻，3 次找出
第一次：9、9、9，找出含次品的 9 个； 第二次：3、3、3，找出含次品的 3 个； 第三次：1、1、1，找出次品。
3×3×3=27，所以 3 次足够；2 次最多区分 3×3=9 个，不够。
例 3：8 个零件，1 个偏轻，2 次找出
分成 3、3、2。
第一次称 3 和 3：
- 若平衡：次品在剩下的 2 个里，第二次 1 对 1 即可；
- 若不平衡：次品在较轻的 3 个里，第二次 1 对 1，若平衡则是第三个。
最坏情况 2 次。8<9，2 次够；但分成 4、4 不行，因为剩下 4 个时，1 次称量最多区分 3 种情况，找不出来。
易错
- 把“称一次”当成只能比较两个零件。天平一次可以称两堆，每堆可以有很多个。
- 分成 1 个和剩下的一大堆。这样最坏情况范围几乎没缩小。
- 认为 8 个也要 3 次。8 个可以分成 3、3、2，2 次就够。
- 忘记“最坏情况”。保证找出，要看最多需要几次，不是运气好的那次。
- 次品轻重未知时照搬三等分方案。轻重未知时信息不同，方案要重新设计。
练习
- 3 个零件，1 个偏轻，称 1 次能找出吗？怎么称？
- 9 个零件，1 个偏轻，最少称几次？
- 27 个零件，1 个偏轻，最少称几次？
- 8 个零件，1 个偏轻，最少称几次？给出分堆方法。
- 10 个零件，1 个偏轻，最少称几次？
- 判断：5 个零件，1 个偏轻，称 1 次一定能找出次品。
答案
- 能。取 2 个各放一边：若平衡，剩下那个是次品；若不平衡，轻的那个是次品。
- 2 次。分成 3、3、3；第二次从可疑的 3 个中取 2 个称。
- 3 次。分成 9、9、9；再分成 3、3、3；最后 1、1、1。
- 2 次。分成 3、3、2；先称 3 和 3，之后按例 3 处理。
- 3 次。两次最多区分 9 个，10 个已超过这个范围；三次可以区分至多 27 个，所以至少 3 次。分成 3、3、4；先称 3 和 3。若平衡，次品在 4 个那堆，第二次称 1 对 1，若平衡，剩下 2 个再称一次，最坏共 3 次；若不平衡，次品在较轻的 3 个里，再称一次即可。
- 错。1 次最多区分 3 种情况，5 个里找次品至少 2 次。
高年级兴趣拓展：把重复乘法记成乘方
3×3记作3²，3×3×3记作3³。每次称量最多有3种结果，称k次最多有k个3相乘那么多种结果，简记3^k。这个记法只是把上面的分组过程写短；基础题先画出每一种称量结果怎样继续，不要求用字母指数公式。
动手验证
用9张编号卡代替零件，另写一张秘密卡指定哪个偏轻。一个人提出称法，另一个按秘密卡报告左轻、右轻或平衡，不用真的把纸卡称重。试遍9种次品位置，检查3、3、3分法是否每种情况都能两次找到。核对：第一次留下3个，第二次1对1即可。